第229章 蛮星之主一（第3页）

内积在L?伴随算子方程中的作用是提供了一种衡量x和L?x之间关系的方式。它可以用于计算向量或函数的范数（长度或大小）、确定两个向量或函数的相似性或垂直性，以及其他与线性代数和分析相关的问题。

具体的内积形式和计算方法取决于所涉及的数学框架和问题的上下文。在不同的领域中，可能会使用不同的内积定义和运算规则。

例如，在量子力学中，内积可以用于描述粒子的状态和可观测量之间的关系。在信号处理中，内积可以用于计算信号的能量或相关度。

总的来说，内积是研究L?伴随算子方程的重要工具，它提供了一种描述和分析向量或函数之间关系的方法，帮助我们理解和解决与伴随算子相关的问题。具体的应用和计算将取决于具体的问题和所使用的数学工具。

在实践中，我们处理的算子通常是自伴随的，或者是厄米的。

厄米或自伴随算子

L?=L

对于像ddx这样的简单微分算子来说就是这种情况。在量子力学中，任何可观测的量，即对应于真实测量的L，都要求是自伴随的，以便测量的量（本征值）是实数。

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也有例外。例如在模拟具有能量耗散或增益的量子系统时，我们可以使用非厄米哈密顿量来模拟变化，但这种情况相当少见。尤其是你能接触到的，几乎可以肯定所有的哈密顿量都是自伴随的。

对于自伴随算子，格林函数也满足：

方程8:

LG（x，x'）=δ（x-x'）

这也是你在实践中最常见的定义方式。

有了方程，如何理解它呢。由于L是任意的，因此G也是如此，让我们从右侧开始：δ函数。

方程9:δ函数∫-∞∞:f（x-x'）dx'=1

回顾一下：我们通过它在积分下的作用来定义δ函数

$delta$函数是一个在数学和物理学中常用的广义函数，通常用$delta（x）$表示。它在$x=0$处取值为无穷大，而在其他地方取值为$0$。

$delta$函数的主要用途是对某些集中在一点或一瞬的物理量进行描述，例如质点的质量、电荷集中在一点，或者脉冲在一瞬间的作用等。虽然$delta$函数在常规的函数定义下并不满足连续可微等性质，但可以通过分布理论或广义函数的概念来理解和处理。

在数学中，$delta$函数常用于积分、微分方程和卷积等问题中。例如，对于在$x=0$处有集中质量的线性弹簧系统，其位移可以表示为$int_{-infty}^{infty}f（x）delta（x）dx$，其中$f（x）$是作用力。

需要注意的是，$delta$函数的具体形式和定义可能因应用领域和具体问题而有所不同。在实际使用中，需要根据具体情况选择合适的定义和处理方法。

总的来说，$delta$函数是一种抽象的数学工具，用于描述和处理集中在一点或一瞬的物理现象或数学问题。它在许多领域都有广泛的应用。

以及

方程10:δ（x≠x'）=0

δ函数最重要的特性是与函数一起积分时的“筛选性质”

方程11:

∫f（x'）δ（x-x'）dx'=f（x）

这是直观的，因为我们可以将δ函数表示为高斯或正弦函数的极限。

当$delta$趋近于$0$时，高斯函数和正弦函数的极限情况如下：

对于高斯函数，它通常表示为$e^{-frac{x^2}{2sigma^2}}$，其中$sigma$是标准差。当$delta$趋近于$0$时，高斯函数在$x=0$处的取值趋近于$1$，并且在其他点的取值趋近于$0$。这是因为当$delta$很小时，高斯函数的峰值变得非常尖锐，而在远离峰值的地方函数值迅速下降。

对于正弦函数，它通常表示为$sin（x）$。当$delta$趋近于$0$时，正弦函数在$x=0$处的取值为$0$，并且在其他点的取值呈现周期性的变化。具体的变化模式取决于$x$的取值，但一般来说，正弦函数在相邻的峰值和谷值之间的变化是平滑的。

需要注意的是，这里的描述是在一般情况下的简化说明。在具体问题中，可能需要更详细的分析和具体的参数值来确定函数的极限行为。此外，极限的结果还可能受到其他因素的影响，如函数的定义域、边界条件等。

总的来说，当$delta$趋近于$0$时，高斯函数呈现出尖锐的峰值，而正弦函数呈现出周期性的变化。这些特征在不同的应用中可能具有重要的意义，例如在概率论、信号处理或物理学等领域。

上面介绍了高斯序列表示的函数

和正弦序列（sinxx）表示δ函数

在这里，我们将采取不同的视角，专注于筛选性质。为此，我需要介绍卷积（volutions）。

卷积是两个函数之间的积分，我们称它们为f（x）和g（x），但我们通过某个量将其中一个函数偏移，我们将其称为x。

方程12:

f×g=∫f（x'）g（x-x'）dx'