第229章 蛮星之主一（第7页）

引入物理

旧电压表

我们可以用数学的方式来考虑格林函数作为算子的逆函数，当我们在求内积时，把函数看成是1。但我们如何从物理上理解格林函数呢?

说明这一点的最简单方式是用一个例子。让我们为泊松方程求解格林函数（上述方程3）。回想一下，我们试图找到电势（电压），给定空间中的某些电荷分布，后者我们用电荷密度ρ（r）表示。

泊松方程:

-▽^2V（r）=ε0^-1ρ（r）

其中?0是一个常数，称为自由空间的电容率。

这是一个“静电”问题。我们假设电荷不动。没有电流存在，否则除了电势，我们还需要考虑磁势来完全解出这个方程组。

虽然这是一个简化，但这仍然是一个非常困难的问题，所以找到格林函数是值得的。不仅如此，这实际上是一个物理电荷分布。如果我们考虑一个电子，它只是一个带电荷的点。它的密度是

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方程25电子的电荷密度:

ρ（r）=-eδ（r）

相比之下，质子是一个复合粒子。我们可以使用量子力学为其指定一个有效的“大小”，但几乎在所有实际应用中，它同样只是一个带有正电荷+e的点，具有相同的δ函数电荷密度。

同样的考虑可以应用于大多数实际尺度的整个原子，例如，耳机或麦克风中的钕离子具有近似的电荷密度：

钕离子（Nd+3）的电荷密度。

ρ（r）=+3eδ（r）

因为钕喜欢失去3个电子。

这告诉我们的是，泊松方程的格林函数是点电荷的电势，模取常数。

由于任意电荷分布按定义是点电荷的总和，且因为泊松方程是线性的，因此电势是具有权重因子ρ（r）的格林函数的总和。

这就是我们对函数的数学理解作为一种“单位向量”的由来。一般来说，求解格林函数类似于将源f（x）分解成一堆点源，求解任意位置的源，然后求和。

那么解呢？实际上有一个巧妙的方法可以使用傅里叶变换求解泊松方程的格林函数，但这篇文章已经太长了，所以我只引用答案。

对于格林函数我们有：

方程26：泊松方程的格林函数

G（r，r'）=｛4π^-1｝*｛?r-r'?^-1｝

给定ρ（r）的完整解为：

方程27:

V（r）=｛4πε0^-1｝∫｛ρ（r'）｝*｛?r-r'?^-1｝dx

总结

回顾一下，这篇关于格林函数的文章的两个主要信息。

1。从数学上讲，格林函数像对应线性算子的逆一样，因为通过与Lu取内积，我们求解了u

2。在物理上，我们可以把格林函数解释为一个点源的解，我们可以把它们加起来形成任意源的解。我们通过分析泊松方程的格林函数来说明这一点，但它也适用于光学中的亥姆霍兹方程，其中格林函数是光的点发射器的电场。

唯一我必须提到的细节是边界条件，我根本没有讨论过。以上都是关于无限空间中的格林函数，即边界在无限远处，我们所有的解都是零。当然，我们可以有特定的边界条件，这些条件将改变格林函数。

小学没毕业，学习好费脑，为了体验一下那些所谓的学霸君的乐趣，我宁愿杀鸡宰羊。